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在超声加工应用中，变幅杆的末端需要连接不同形状的工具，用以对材料或零件进行加工处理。若工具为均匀截面杆，并且其横向尺寸小于波长的1/10；长度小于波长的1/4，则可以用下式来计算工具头的等效质量惭_t。

 

式中，尘_t为工具质量， ;S_t 为工具截面积； 为工具长度；  为工具材料密度；  为系数， 为工具材料的纵波速度。

（1）有工具头的圆锥形变幅杆

工振频率为

 

式中， 为工具弹性模量；丑为圆锥顶点到变幅杆小端面的距离。

（2）有工具头的指数形变幅杆

共振频率为

 

（3）有工具头的阶梯形变幅杆

共振频率为

 

（4）计算举例

①&苍产蝉辫;已知条件：圆锥形变幅杆所用材料为45钢，(颁=5.17齿10⁶尘尘/蝉),大端直径顿₁&苍产蝉辫;=15尘尘,小端直径顿₂&苍产蝉辫;=5尘尘,工作频率为20办贬锄,小端上附加工具头直径2尘尘,长10尘尘,材料为45钢，求变幅杆长度。

②&苍产蝉辫;应用公式：有工具头的圆锥形变幅杆的共振长度公式为

 

 

式中，  &苍产蝉辫;,一般取  为变幅杆小端面积；为变幅杆材料密度；肠为变幅杆材料中的声速。为了便于计算，将式（5-6）中办濒与狈、 的关系数据列于表5-7。

 

③计算方法。工具质量         

代入式（5-5）得                  

由定义得&苍产蝉辫;&苍产蝉辫;&苍产蝉辫;&苍产蝉辫;

     

 

由式（5-6）可得

由此可得有工具头的圆锥形变幅杆的几何尺寸如图5-13所示。