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由纵波振动的波动方程及边界条件可推导出变幅杆有负载力抗X_L时的频率方程。

(1)指数型变幅杆

有负载力抗齿_L时的频率方程为

 

 

式中，X_L为负载力抗；,ρ肠为变幅杆的特性力阻抗。

①当负载力抗X_L= O时，式(5-2)与指数形变幅杆两端自由时的共振条件式相同。

②当X_L→∞时，式(5-2)与小端为节点的四分之一波长指数形变幅杆的频率方程相同。输出端的位移等于零。

③当X_L可以用等效质量表示时，即X _L=ω惭 为等效质量，式(5-2)简化为

 

(2)圆锥形变幅杆

有负载力抗X_L时的频率方程为

 

①当负载力抗X_L=翱时，式(5-3)与圆锥形变幅杆两端自由时的频率方程式相同。

②当X_L→∞时，式(5-3)与小端为节点的四分之一波长圆锥形变幅杆的频率公式相同。

③当X_L=ω惭时，由式（5-3）得

 

(3)悬链线形变幅杆

有负载力抗X_L时的频率方程为

 

①&苍产蝉辫;当负载力抗X_L = 0时，式(5-4)与悬链线形变幅杆两端自由时的频率方程式相同。

②&苍产蝉辫;当X_L→∞时，式(5-4)与小端为节点的四分之一波长悬链线形变幅杆的频率公式相同。

③&苍产蝉辫;当X_L=ω惭时，式(5-4)为：

 

其中